Pythagorova věta

Pythagorova věta je, společně s Archimedovým zákonem, jednou z prvních „velkých vět“, se kterými se děti ve škole potkají a u někoho je to i jediná znalost, kterou si ze školy zapamatují :-). Pomineme skutečnost, že Pythagoras větu neobjevil (byla známa už 2000 př. n. l.) a „jen“ se po něm jmenuje. O významu Pythagora (řecký filozof, matematik a astronom v 6. st. př. n. l.) ani věty po něm pojmenované nebudeme určitě pochybovat.

Pythagorova věta zní:

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených na jeho odvěsnami.

 

Ještě to zdůrazníme několikrát, ale důležité je slovo PRAVOÚHLÉHO. Pythagorova platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! 
Pythagorova věta

Platí

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí:

 

c2 = a2 + b2

 

Znovu zdůrazňujeme, že jsme v pravoúhlém trojúhelníku.

Přepona je strana trojúhelníku „proti“ pravému úhlu. Na našem obrázku je to strana AB označená malým c. Lze i napsat, že jde o nejdelší ze tří stran trojúhelníku.

A obsah hledaného čtverce spočítáme c x c = c2

Odvěsny jsou další dvě strany trojúhelníka AC označená b a BC označená a.

Obsah čtverců je a2 a b2.

Důkaz Pythagorovy věty:

Obrázek s Pythagorovou větou můžeme „přeskládat“ a vznikne tato situace:

Důkaz Pythagorovy věty

Důkazem tedy je, že vzniknou dva stejné čtverce s hranou a+b. V obou čtvercích (v jejich obsahu) jsou čtyři stejné trojúhelníky (pravoúhlé!) a to co zbude bez těchto trojúhelníků je – vlevo čtverce nad odvěsnami a2 a b2 a vpravo je čtverec nad přeponou c2.

Užití Pythagorovy věty.

Když neznáme délku jedné strany v pravoúhlém trojúhelníku, tak pro její výpočet použijeme Pythagorovu větu.

Když neznáme přeponu c:

c = √(a2 + b2) … odmocnina součtu druhých mocnin délek odvěsen je délka přepony.

Když neznáme jednu z odvěsen např. b:

b = √(c2 – a2) …. když odmocníme rozdíl druhých mocnin přepony a jedné odvěsny dostaneme délku odvěsny druhé.

V konstrukci (architektuře) se už staletí používá Pythagorova věta pro konstrukci pravého úhlu.

Už před více než 4000 lety takzvaní Harpenodapté vytyčovali pravé úhly pro základy egyptských chrámů pomocí lan, na kterých byly ve stejné vzdálenosti uvázány uzly. Pokud na jednom laně byly 3 stejné úseky na druhém 4 a na posledním 5 úseků vznikl mezi lany s 3 a 4 úseky pravý úhel.

Konstrukce pravého úhlu

a důkaz, že je to opravdu 90° ?

Tím je Pythagorova věta:

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

A ještě naposledy :-) : Pythagorova věta platí jen v pravoúhlém trojúhelníku.