Archiv štítku: zlomky

Složené zlomky

17 komentáře

\Huge{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}};~\frac{{7}}{\frac{3}{4}};~\frac{\frac{22}{48}}{\frac{26}{208}};~\frac{\frac{2}{5}}{{3}}}

jsou složené zlomky. Jde vlastně o zlomek, který má v čitateli (nahoře :-)) i ve jmenovateli (dole) zase zlomek. (Pozn. čísla 7 a 3 ze dvou složených zlomků si můžeme představit jako \frac{7}{1};~\frac{3}{1}.) Oba zlomky jsou odděleny hlavní zlomkovou čárou. Hlavní zlomková čára se píše o trochu delší a vždy ve stejné výšce jako znaménko =, +, -,

Složený zlomek zjednodušíme (vypočítáme) tak, že čitatel (horní zlomek) dělíme jmenovatelem (dolním zlomkem).

{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}}~=~\frac{2}{5}~:~\frac{1}{2}~=}

a jak jste se dozvěděli na stránce o zlomcích Dva zlomky dělíme tak, že první zlomek vynásobíme převráceným druhým zlomkem. (převrácený zlomek vznikne záměnou čitatele a jmenovatele). Náš příklad tedy pokračuje.

={~\frac{2}{5}\times\frac{2}{1}~=~\frac{2\times2}{5\times1}~=~\frac{4}{5}}

A ještě jeden trochu složitější příklad:

{\frac{2 \frac{1}{3}}{\frac{6}{7} + 4}~=}

Smíšené číslo 2 \frac{1}{3} převedeme na zlomek (nepravý zlomek) 2 \frac{1}{3}=\frac{(2*3)+1}{3}=\frac{7}{3} a i číslo 4 převedeme na zlomek \frac{4}{3}. Náš příklad bude vypadat takto:

{\frac{\frac{7}{3}}{\frac{6}{7} + \frac{4}{1}}~=}

Sečteme zlomky ve jmenovateli:

{\frac{\frac{7}{3}}{\frac{6 + (4\times7)}{7}}~=~\frac{\frac{7}{3}}{\frac{34}{7}}}

a teď už můžeme složený zlomek vypočítat, tak, že jmenovatel (horní zlomek) násobíme převráceným zlomkem z jmenovatele.

{\frac{7}{3}\times\frac{7}{34}~=~\frac{7\times7}{3\times34}~=~\frac{49}{102}

Příklady na procvičení počítání složených zlomků jsou ZDE.

Grafické vyjádření zlomků

Napsat komentář

Zlomky nejlépe pochopíte zlomky, když si je představíte graficky. Třeba jako koláč (dort) rozkrájený na dílky ze kterého si chceme několik dílků vzít. Počet všech dílků je jmenovatel (dolní číslo zlomku) a počet dílků, které si chceme vzít je čitatel (horní číslo zlomku).

V našem prvním příkladě chceme 1 dílek z dortu rozděleného na 4 díly. Zlomek je tedy   [pmath size=16]1/4[/pmath]

zlomek graficky[pmath size=22]{=}~1/4[/pmath]

 

V dalším příkladě chceme 3 dílky z dortu rozkrojeného na 10 dílů. Zlomek tedy bude   [pmath size=16]3/10[/pmath]

tří desetiny[pmath size=22]{=}~3/10[/pmath]

Porovnání zlomků

na grafickém znázornění je pěkně vidět, který zlomek je větší.

 

sedmdesetin>polovina>jednatretina>jedna čtvrtina
 [pmath size=22]7/10[/pmath]> [pmath size=22]1/2[/pmath]> [pmath size=22]1/3[/pmath]> [pmath size=22]1/4[/pmath]

 Důkaz rozšiřování zlomků

Graficky si můžeme znázornit, že rozšíření zlomku (vynásobení čitatele a jmenovatele stejným číslem) nezmění hodnotu zlomku.

jednatretina=dvě šestiny=čtyři dvanáctiny
  [pmath size=22]1/3[/pmath]= [pmath size=22]{1*2}/{3*2}=2/6[/pmath]=  [pmath size=22]{2*2}/{6*2}=4/12[/pmath]

Test – násobení (1)

4 komentáře
1.   2 x 2 =

4
5
6
2.   3 x 3 =

3
6
9
3.   4 x 5 =

10
20
25
4.   8 x 1 =

8
16
20
5.   4 x 3 =

10
11
12
6.   5 x 2 =

5
10
20
7.   6 x 3 =

10
18
20
8.   3 x 5 =

9
12
15
9.   7 x 3 =

14
18
21
10.  4 x 9 =

36
46
56




Zlomky – základ

15 komentáře

Zlomek je zapsaný podíl dvou celých čísel: čitatele a jmenovatele.

\frac{x}{y}\:\: \frac{citatel}{jmenovatel}

Když je absolutní hodnota čitatele menší než abs. hodnota jmenovatele, je to zlomek pravý. např. \frac{1}{6}, -\frac{5}{6}, \frac{-4}{10}
Když je absolutní hodnota čitatele větší než abs. hodnota jmenovatele, je to zlomek nepravý. např. \frac{17}{10}, \frac{13}{6}, \frac{-9}{8}
Nepravý zlomek lze převést na smíšené číslo. \frac{7}{6}=1 \frac{1}{6}, \frac{-70}{6} = -11\frac{4}{6} = -11\frac{2}{3},

Rozšiřování zlomků: čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem (kromě 0) např. \frac{5}{6}=\frac{5*3}{6*3}=\frac{15}{18}
Krácení zlomků: čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem (kromě 0, kterou nelze dělit) např. \frac{16}{40}=\frac{16:8}{40:8}=\frac{2}{5}

Rozšiřování a krácení zlomků je hodně důležitá věc. Budete to používat při úpravě zlomků, výrazů, v  algebře …

POZOR: při krácení ani při rozšiřování zlomků se hodnota zlomku nemění. (podíl je stále stejný)

Sčítání a odčítání zlomků:

Zlomky můžeme sčítat a odčítat, když mají stejného jmenovatele (dole musí být stejné číslo 🙂 ). Pokud není, musíme najít společný násobek (společný jmenovatel).

\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6},
jmenovatel obou zlomků je stejný

\frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{5}{8}+\frac{6}{8}=\frac{11}{8}=1 \frac{3}{8}

Společný jmenovatel:

Protože jmenovatel zlomků není stejný, musíme zlomky převézt na společný jmenovatel. Musíme tedy jeden zlomek (nebo oba – viz dále) vynásobit (rozšířit) tak, aby byl jmenovatel stejný. Jinými slovy hledáme nejmenší společný násobek jmenovatelů. V našem příkladě \frac{3}{4} jsme rozšířili 2 -> nezmění se hodnota -> jmenovatel bude stejný jako u prvního zlomku \frac{3*2}{4*2} = \frac{6}{8}

U společného jmenovatele mohou nastat tři možnosti:

1. Společným jmenovatelem je jeden ze jmenovatelů:

\frac{3}{10} + \frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{3*2}{5*2} = \frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{3+6}{10} = \frac{9}{10}

2. Společného jmenovatele dosáhneme rozšířením (vynásobením) číslem menším než je druhý jmenovatel.

\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = Nejmenší společný násobek 6 a 4 je 12 tzn. první zlomek násobíme 2 a druhý 3. =  \frac{5*2}{6*2} + \frac{3*3}{4*3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{10+9}{12} = \frac{19}{12}=1\frac{7}{12}

3. Společného jmenovatele získáme vzájemným vynásobením jmenovatelů. Toto funguje vždy, ale musím potom násobit velkými čísly což není praktické, a u převádění více zlomku než dvou se dostaneme k ještě větším číslům, proto vždy nejdříve prověřujeme, jestli není možné dosáhnout společného jmenovatele podle bodu 1. a 2.

\frac{2}{7} + \frac{4}{5} = první zlomek násobíme 5 a druhý 7 = \frac{2*5}{7*5} + \frac{4*7}{5*7} = \frac{10}{35} + \frac{28}{35} = \frac{10+28}{35} = \frac{38}{35}=1\frac{3}{35}

Zobrazit příklady na procvičení počítání se zlomky.

Násobení a dělení zlomků:

Násobení:

Dva zlomky vynásobíme tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem:

\frac{3}{7}*\frac{7}{11}=\frac{3*7}{7*11}=\frac{21}{77}= \frac{3}{11}
(výsledek \frac{21}{77} jsme krátili 7, proto výsledek \frac{3}{11})

Dělení:

Dva zlomky dělíme tak, že první zlomek vynásobíme převráceným druhým zlomkem (převrácený zlomek vznikne záměnou čitatele a jmenovatele).

\frac{3}{8}:\frac{7}{11}=\frac{3}{8}*\frac{11}{7}=\frac{33}{56}
(převrácený zlomek k \frac{7}{11} je \frac{11}{7})

Zobrazit příklady na procvičení počítání se zlomky.