Mnohostěn

Mnohostěn je geometrický útvar, který je množinou všech bodů ležících uvnitř dané mnohostěnové plochy a na této ploše. Zmíněné mnohostěnová plocha se nazývá povrchem mnohostěnu; vrcholy, hrany a stěny této plochy jsou rovněž vrcholy, hrany a stěny mnohostěnu. Mnohostěn je konvexní, jestliže pro každou jeho stěnu platí, že celý mnohostěn je obsažen v jednom z poloprostorů vyťatých rovinou, v níž tato stěna leží. Mezi nekonvexní mnohostěny patří mnohostěny „děravé“, to znamená takové, které nejsou jednoduché čili nejsou topologicky ekvivalentní kouli (viz topologie); příklad takového mnohostěnu je na obr.125. Jednoduchým m. se také říká eulerovské, protože pro ně platí Eulerův vzorec v+s=h+2, kde v, s a h jsou po řadě počty vrcholů, stěn a hran. Pokud se užívá slova „mnohostěn“ bez další specifikace, rozumí se tím zpravidla konvexní mnohostěn. Každý vrchol m. je vrcholem mnohohranu určeného hranami vycházejícími z tohoto vrcholu. Podle počtu stěn mají m. svá pojmenování: čtyřstěn (tetraedr), pětistěn (pentaedr), šestistěn (hexaedr), sedmistěn (heptaedr), osmistěn (oktaedr), dvanáctistěn (dodekaedr), dvacetistěn (ikosaedr) atd. Mnohostěn se nazývá kombinatoricky pravidelný, jestliže z každého jeho vrcholu vychází tentýž počet hran a každá stěna je ohraničena týmž počtem hran; jestliže navíc všechny jeho stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky, nazývá se metricky pravidelný, nebo jen pravidelný. Existuje právě pět pravidelných m. jak plyne z Eulerovy věty.

Dva pravidelné mnohostěny takové, že počet stěn jednoho z nich se rovná počtu vrcholů druhého, jsou navzájem duální. Mají stejný počet hran a středy stěn jednoho jsou vrcholy mnohostěnu podobného druhému. Pravidelný šestistěn (krychle) a pravidelný osmistěn jsou navzájem duální a rovněž jsou spolu duální pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Pravidelný čtyřstěn je duální sám k sobě.

Zvláštní případy mnohostěnů:

a) Hranol

Dvě jeho stěny leží v rovnoběžných rovinách, jsou spolu shodné a nazývají se podstavy hranolu; ostatní stěny jsou rovnoběžníky a tvoří plášť hranolu. Podle toho, kolik stran má podstava, mluvíme o hranolu trojbokém, čtyřbokém, pětibokém, šestibokém atd. Vzdálenost rovin obou podstav se nazývá výškou hranolu.

Hranol se nazývá kolmý, jestliže roviny podstav jsou kolmé k rovinám ostatních stěn (a tedy boční stěny jsou ondélníky nebo čtverce).

Kolmý hranol se nazývá pravidelný, jestliže jeho podstavy jsou pravidelné mnohoúhelníky (pravidelný hranol je samozřejmě něco jiného než pravidelný mnohostěn ve výše uvedeném smyslu).

Hranol, jehož podstavy jsou rovnoběžníky, se nazývá rovnoběžnostěn. Kolmý rovnoběžnostěn, jehož podstavy jsou obdélníky nebo čtverce, se nazývá kvádr. Všechny tělesové úhlopříčky kvádru jsou shodné (tělesová úhlopříčka mnohostěnu je úsečka spojující dva jeho vrcholy nepatřící téže straně). Kvádr, jehož všechny stěny jsou čtverce, se nazývá krychle.

b) Jehlan

Jeho jednou stěnou je mnohoúhelník zvaný podstava; ostatní stěny jsou trojúhelníkové, nazývají se boční stěny a mají všechny společný vrchol zvaný hlavní vrchol jehlanu. Podle toho, kolik stran má podstava, mluvíme o jehlanu trojbokém, čtyřbokém, pětibokém, šestibokém atd. Vzdálenost hlavního vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Jehlan se nazývá kolmý, jestliže jeho podstava má střed kružnice vepsané a kolmice vedená hlavním vrcholem k rovině podstavy prochází tímto středem. Jestliže podstava kolmého jehlanu je pravidelný mnohoúhelník, jehlan se nazývá pravidelný. Rozřízneme-li jehlan rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy, dostaneme dvě tělesa; jedno z nich je opět jehlan, druhé komolý jehlan. Komolý jehlan se nazývá kolmý nebo pravidelný podle toho, byl-li takový jehlan, z něhož byl „odříznut“.

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *